2020新年快樂!承接上一篇,本篇主面要講解兩面角公式的用法。首先回一回帶,要知道兩平面之夾角是哪一隻,其中一個方法,就是把該兩平化身成長方形,好像一本打開了的書,如下圖:

圖一

就可以一眼看到藍線與綠線的夾角(紅角)就是了。2018年這一題,並不容易臨場「幻想」出一個長方形,所以才有final boss的感覺。

兩面角公式,就可以解決繁鎖的步驟:

 

到底φ、θ、α、β代表什麼呢? 由於原理太艱深,本篇純粹教大家怎樣運用。

原來,此公式主要針對任意四面體(tetrahedron)上,找出任何兩個鄰接面的夾角φ的公式。所以,要特別連接AC,使ACBD成為一個四面體,就可以使用這公式了。

圖二

四面體上,有ABD、ABC、ACD和BCD四面。由於題目要找ABD和BCD的夾角,所以在下圖中,先把主角,平面ABD油上綠色和平面BCD油上藍色,並把圖一的紅角(答案)勾出來,再加上綠面上B點的角、藍面上B點的角、以及ABC面上B點的角勾出。

圖三

公式中的四個角色 φ、θ、α、β,原來就是圖三著色的角上。φ=紅,θ=黑,α、β=綠和藍。代入之前的資料:

 ∴ φ=71.9°

用此公式時要留意:

  1. φ是計算的最後結果,可以不理。
  2. 在四面體上,找出目標平面共同擁有的頂點(即B或D)。選B的話,找出與該頂點所有的角(即∠ABD、∠CBA、∠CBD)。
  3. 三隻角之中,只有∠CBA 不屬於目標平面之上,把它稱作θ,其餘兩隻,就是 α及 β了。
  4. 角度的角色很重要,如果掉轉了,例如把∠CBA、∠CBD 代成α、β的話,找到的就是平面ABC和平面BCD的夾角了。
  5. 如果不是定B點為共同頂點,亦可以定D點,則α、β就變成∠ADB、∠CDB ,θ就是∠ADC,不過這一題中並沒有這些角的資料,所以放棄用D點。

 

為什麼我知道這一條公式呢?其實在此之前,我也未曾學過的。偶然間看到考評局的考試報告,順帶看看考生表現的示例,當中見到中文版「第五級額外示例」入面,竟然有考生使用了這一條「幻之公式」。經多方面查核後,才斗膽公開給自己的學生及所有留意此頁的朋友們。

 

讚嘆天下之大之餘,正當我認為懂得的考生應該絕無僅有的同時,我又發現了,英文版Level 4 示例入面,又有另一位考生用同一方法順利計算。我即時推測,坊間似乎已有高人(老師或者補習老師)廣傳了這OUT SYLLABUS的方法了,我們又怎可以執輸呢?

 

究竟過往的題目有沒有此公式的練習機會呢?當然是有的。大家可以參考2010/Q15, PP/Q18一展身手吧! 

最後,就是貼上考評局的link,祝大家考試順利!

2018年香港中學文憑考試數學必修部分第五級額外示例

2018年香港中學文憑考試數學必修部分第四級額外示例 (英文)